Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（-1，0），B（3，0）、C（0，-3）三点．
（1）直接写出抛物线的解析式y=x²-2x-3；
（2）点D（2，m）在抛物线上，连接BC、BD，试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′，在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒（0≤t≤3），试求S与t之间的函数关系式？

Answer 1

分析 （1）根据题意设抛物线交点式，待定系数法求解可得；
（2）求出点D坐标可得CD∥x轴，由B、C坐标可得∠OCB=∠CBO=∠DCB=45°，继而证△CDB≌△CQB可得CQ=CD=2，即点Q的坐标，从而求得直线BP的解析式，设抛物线上的点P（n，n²-2n-3），代入直线BP解析式可求得n的值，可得答案；
（3）①点C′在CD上运动时，即0≤t≤2时，根据：S=S_△BCD-S_△CC″E-S_△C″DF，求解即可；
②点C′在CD延长线上运动时，即2＜t≤3时，根据：S=S_△GEB，求解可得．

解答 解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，-3）代入，得：-3a=-3，
解得：a=1，
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
故答案为：y=x²-2x-3．

（2）存在，
将点D（2，m）代入抛物线解析式得：m=-3，
∴D（2，-3），
∵B（3，0），C（0，-3）
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如图1，设BP交y轴于点Q，

∵CD∥x轴，
∴∠DCB=∠BCQ=45°
在△CDB和△CQB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠BCQ}\\{BC=BC}\\{∠PBC=∠DBC}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△CQB（ASA）
∴CQ=CD=2，
∴点Q（0，-1），
设直线BP：y=kx-1，
点B（3，0）代入得：3k-1=0，
∴k=$\frac{1}{3}$，
∴直线BP：y=$\frac{1}{3}$x-1，
设P的坐标为（n，n²-2n-3），
代入y=$\frac{1}{3}$x-1，得：n²-2n-3=$\frac{1}{3}$n-1
解得：n=-$\frac{2}{3}$或n=3（舍去）
当n=-$\frac{2}{3}$时，n²-2n-3=-$\frac{11}{9}$
∴P（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．

（3）∵B（3，0），C（0，-3），D（2，-3），
∴求得直线BC：y=x-3，直线BD：y=3x-9，
①当0≤t≤2时，如图2：

∵由已知设C′（t，-3），B′（3+t，0）
∴求得直线C′B′：y=（x-t）-3，再联立直线BD：y=3x-9，求得F（$\frac{6-t}{2}$，-$\frac{3t}{2}$），
∵∠DCB=45°
∴C′E=t
∴S=S_△BCD-S_△CC″E-S_△C″DF=$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×t×t-$\frac{1}{2}$×（2-t）（3-$\frac{3}{2}$t），
整理得：S=-$\frac{5}{4}$t²+3t（0≤t≤2）
②当2＜t≤3时，如图3：

∵由已知设G（t，3t-9），E（t，t-3）
∴S=S_△GEB=$\frac{1}{2}$[（-3t+9）-（-t+3）]×（3-t）
整理得：S=t²-6t+9（2＜t≤3），
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}{t}^{2}+3t}&{（0≤t≤2）}\\{{t}^{2}-6t+9}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、全等三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．