Question

12．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求EH的长及sin∠DHE的值（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD=∠C，因此OD∥AC，由已知条件得出DE⊥OD即可；
（2）连接CD，作DM⊥EH于M，由圆周角定理得出∠BDC=90°，由等边三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$AB=2，求出AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，得出CE=AC-AE=3，同理得出EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，EM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得出DM=$\sqrt{3}$EM=$\frac{3}{2}$，MH=EH-EM=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出DH，再由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，作DM⊥EH于M，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，∠A=∠C=60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°-∠A=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴CE=AC-AE=3，
∵EH⊥BC，
∴∠CEH=90°-∠C=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{3}{2}$，
∴EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵∠DEH=90°-∠CEH=60°，
∴∠EDM=90°-60°=30°，
∴EM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DM=$\sqrt{3}$EM=$\frac{3}{2}$，MH=EH-EM=$\sqrt{3}$，
∴DH=$\sqrt{D{M}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴sin∠DHE=$\frac{DM}{DH}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．