Question

18．如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．
（1）求证：△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；
②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性质可得出∠C=90°=∠BFN，结合公共角∠FBN=∠CBP，即可证出△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可；
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP（AAS），根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．

解答 （1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，
∴MN垂直平分线段BP，
∴∠BFN=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°．
∵∠FBN=∠CBP，
∴△BFN∽△BCP．
（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图所示．
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．
∵△MDP为直角三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∵BM与⊙O相切，
∴MP⊥BM．
∵MB=MP，
∴△BMP为等腰直角三角形．
∵∠AMB+∠PMD=180°-∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠PMD=∠MBA．
在△ABM和△DMP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBA=∠PMD}\\{∠A=∠PMD=90°}\\{BM=MP}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴DM=AB=4，DP=AM．
设DP=2a，则AM=2a，OE=4-a，
BM=$\sqrt{A{B}^{2}+A{M}^{2}}$=2$\sqrt{4+{a}^{2}}$．
∵BM=MP=2OE，
∴2$\sqrt{4+{a}^{2}}$=2×（4-a），
解得：a=$\frac{3}{2}$，
∴DP=2a=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合翻折的性质，找出∠C=90°=∠BFN；（2）①利用尺规作图，画出⊙O；②根据全等三角形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP．