Question

如图，在中，AB=AC=10cm， BC=16cm，DE=4cm．线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm／s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动．过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）用含t的代数式表示线段EF的长度为    ；

（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由．

（3）设M、N分别是DF、EF的中点，请直接写出在整个运动过程中，线段MN所扫过的图形的面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）、或秒；（3）cm²

【解析】

试题分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；

（2）分三种情况讨论：①当DF=EF时，②当DE=EF时，③当DE=DF时，利用等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，即可求得答案；

（3）首先设P是AC的中点，连接BP，可证得点B，N，P共线，即可得点N沿直线BP运动，MN也随之平移，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形，然后求得?PQST的面积即为MN所扫过的面积．

（1）∵BD=tcm，DE=4cm，

∴BE=BD+DE=（t+4）cm，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴EF：AC=BE：BC，

即EF：10=（t+4）：16，

解得.

（2）分三种情况讨论：

①当时，有

∴点与点重合，∴…

②当时

∴，解得：

③当时，有

∴△DEF∽△ABC.

∴，即，解得：.

综上所述，当、或秒时，△为等腰三角形；

（3）整个运动过程中，MN所扫过的图形的面积为cm² 

设P是AC的中点，连接BP，

∵∥∴△∽△.

∴  ∴

又 ∴△∽△∴

∴点沿直线BP运动，MN也随之平移.

如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，

则四边形PQST是平行四边形.

∵、分别是、的中点，∴∥DE，且ST=MN=

分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形.

当t=0时，EF=（0+4）=TK=EF···

当t=12时，EF=AC=10，PL=AC··10·

∴PR=PL-RL=PL-TK=3-

∴S＝ST·PR=2×即整个运动过程中，MN所扫过的图形的面积为cm²．

考点：相似三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形的判定与性质，三角形中位线定理

点评：此题综合性很强，难度较大，注意掌握分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．