Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧

ABC

的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G．
（1）图中有哪些相等的线段；（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）
（2）若过点E作⊙O的切线ME，交AC延长线于点M（请补完整图形），试问．ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=

4

3

，求AG与GM的长．（第（1）问中的结论可直接利用）

Answer 1

分析：（1）图中相等的应该有半径AO=OB，根据垂径定理有：AF=EF，

AD

=

AE

，由于

AD

=

CD

，因此

AD

=

AE

=

CD

，那么如果连接EC，∠DEC=∠ACE，CG=GE，

AE

=

CD

，那么

AEC

=

DCE

，因此DE=AC，于是AG=GD，因此图中应该有5对相等的线段；
（2）可通过角的关系来判断边的关系，根据EM是圆O的切线，如果我们连接AD、AE，那么∠GEM=∠EAD，现在的关键是证明∠MGE=∠EAD，因为∠MGE=∠EAG+∠DEA，∠DAE=∠EAG+∠DAG，如果要得出∠DAG=∠DEA的话，就能得出∠MGE=∠MEG的结论，而题中告诉了于

AD

=

CD

，因此这两个角就相等了．由此便可根据等角对等边来得出ME=MG；
（3）知道了AF、BF的长也就知道了AB、AC的长，现在AG、AC、AF、AB都在相似三角形AEG和ACB中，那么可根据这些线段的比例关系求出AG的长，有了AG的长，AC的长，也就求出了GC的长，下面求MG的长，由（2）知ME=MG，那么根据切割线定理可得：ME²=MC•MA，而ME=MG，MC=MG-GC，MA=MG+AG，已求得了AG、GC的长，那么将等量关系中的相等值进行置换后可得出MG的长．

解答：解：（1）AO=OB，DF=EF，AC=DE，AG=DG，CG=GE；

（2）ME=MG成立，
证明：连接AD、AE，
∵

AD

=

CD

，
∴∠DEA=∠CAD，
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM，
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD；
∵EM是⊙O的切线，
∴∠GEM=∠EAD，
∴∠EGM=∠GEM，
∴ME=MG；

（3）连接BC，
∵DF⊥AB，AF=3，FB=

4

3

，
∴DF²=AF•FB=4，
∴DF=2；
由（1）知：AC=DE=2DF=4，
由Rt△ABC∽Rt△AGF，得：

AG

AB

=

AF

AC

?AG=

AB•AF

AC

=

(3+ 4 3 )×3

4

=

13

4

由切割线定理得：EM²=MC•MA，即MG²=（MG-GC）（MG+AG）
∴MG²=[MG-（4-

13

4

）]（MG+

13

4

）
∴MG=

39

40

．

点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质以及圆周角定理，垂径定理等知识点的综合应用，根据圆周角得出弧相等进而得出相关的角相等是解题的关键．