Question

已知，y=ax²+bx-3过（2，-3），与x轴交于A（-1，0），B（x₂，0），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存直线y=kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若直线y=m（-3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+bx-3过（2，-3），A（-1，0），
∴，
解得a=1，b=-2，
所以抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）设直线y=kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，
A（-1，0），B（3，0），
E（），F（）；
S_{四边形ACFE}=（CF+AE）•OC=（1）；
S_{四边形EFDB}=（DF+BE）•OC=（5）；
即（1）=（5），k=．

（3）存在点P．直线y=m与y轴交点为F（0，m），
①当DE为腰时，分别过D、E作DP₁⊥x轴于P₁，
作EP₂⊥x轴于P₂；如图，
则△DP₁E和△DEP₂均为等腰直角三角形，
又DP₁=DE=EP₂=OF=-m，又AB=x_B-x_A=3+1=4，
又△ECD∽△BCA，即，
即m=；P₁（，0），P₂（，0）；
②当DE为底时，过P₃作GP₃⊥DE于G，如图，
又DG=GE=GP₃=OF=-m，由△ECD∽△BCA，，
即m=；P₃（，0）
综上所述，P₁（，0），P₂（，0），P₃（，0）．
分析：（1）将两点（2，-3），（-1，0）代入抛物线解析式，列方程组求a、b的值即可；
（2）存在，设直线y=kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，先求梯形ACDB的面积，确定E、F两点坐标，表示梯形ACFE的面积，根据两个梯形的面积关系，列方程求k的值；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形．分为①当DE为腰，②当DE为底，两种情况，画出图形，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，利用二次函数的性质表示图形的面积，根据特殊三角形的性质，结合相似三角形的运用解题．