【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点B(6,0),交y轴于点C(0,6),直线AB与直线OA:y=x相交于点A,动点M在线段OA和射线AC上运动.
(1)求直线AB的解析式.
(2)求△OAC的面积.
(3)是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC的面积的?若存在求出此时点M的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=﹣x+6;(2)12;(3)存在满足条件的点M,其坐标为(1,)或(1,5)或(﹣1,7)
【解析】
(1)由B、C坐标,根据待定系数法可求得直线AB的解析式;
(2)联立直线AB和直线OA解析式可求得A点坐标,则可求得△OAC的面积;
(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的时,根据面积公式即可求得M的横坐标,然后代入解析式即可求得M的坐标.
解:(1)设直线AB的解析式是y=kx+b,
根据题意得,解得,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6;
(2)联立直线OA和直线AB的解析式可得,解得,
∴A(4,2),
∴S△OAC=×6×4=12;
(3)由题意可知S△OMC=S△OAC=×12=3,
设M点的横坐标为t,则有S△OMC=×OC|t|=3|t|,
∴3|t|=3,解得t=1或t=﹣1,
当点t=﹣1时,可知点M在线段AC的延长线上,
∴y=﹣(﹣1)+6=7,此时M点坐标为(﹣1,7);
当点t=1时,可知点M在线段OA或线段AC上,
在y=x中,x=1可得y=,代入y=﹣x+6可得y=5,
∴M的坐标是(1,);
在y=﹣x+6中,x=1则y=5,
∴M的坐标是(1,5);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(1,)或(1,5)或(﹣1,7).
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【题目】某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中,随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩,得到结果如下表所示:
下列说法正确的是( )
A.这10名同学体育成绩的中位数为38分
B.这10名同学体育成绩的平均数为38分
C.这10名同学体育成绩的众数为39分
D.这10名同学体育成绩的方差为2
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【题目】在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想:
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
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【题目】水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克,然后以每千克6元的价格出售,每天售出100千克.通过调查发现,这种水果每千克的售价每降低0.1元,每天可多售出20千克,为了保证每天至少售出240千克,张阿姨决定降价销售.
(1)若售价降低0.8元,则每天的销售量为 千克、销售利润为 元;
(2)若将这种水果每千克降价x元,则每天的销售量是 千克(用含x的代数式表示);
(3)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨应将每千克的销售价降至多少元?
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【题目】在一次实验中,小强把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量石的一组对应值:
所挂物体的质量x/kg | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
弹簧的长度y/cm | 20 | 22 | 24 | 26 | 25 | 30 |
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)填空:
①当所挂的物体为3kg时,弹簧长是____.不挂重物时,弹簧长是____.
②当所挂物体的质量为8kg(在弹簧的弹性限度范围内)时,弹簧长度是___.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动,点P在AC,CB,BA边上运动的速度分别为每秒3,4,5个单位.直线l从与AC重合的位置开始,以每秒个单位的速度沿CB方向移动,移动过程中保持l∥AC,且分别与CB,AB边交于E,F两点,点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P第一次回到点A时,点P和直线l同时停止运动.
(1)当t=5秒时,点P走过的路径长为_________;当t=_________秒时,点P与点E重合;
(2)当点P在AC边上运动时,连结PE,并过点E作AB的垂线,垂足为H. 若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似,试求线段EH的值;
(3)当点P在折线AC-CB-BA上运动时,作点P关于直线EF的对称点Q.在运动过程中,若形成的四边形PEQF为菱形,求t的值.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2.下列结论:abc<0;②9a+3b+c>0;③若点M(,y1),点N(,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;④﹣<a<﹣.其中正确结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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