【题目】如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,AB与CD交于点E,点P是CD延长线上的一点,AP=AC,且∠B=2∠P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若PD=,求⊙O的直径;
(3)在(2)的条件下,若点B等分半圆CD,求DE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3);
【解析】
(1)连接OA、AD,如图,利用圆周角定理得到∠B=∠ADC,则可证明∠ADC=2
∠ACP,利用CD为直径得到∠DAC=90°,从而得到∠ADC=60°,∠C=30°,则∠AOP=60°,
于是可证明∠OAP=90°,然后根据切线的判断定理得到结论;
(2)利用∠P=30°得到OP=2OA,则,从而得到⊙O的直径;
(3)作EH⊥AD于H,如图,由点B等分半圆CD得到∠BAC=45°,则∠DAE=45°,设
DH=x,则DE=2x,所以 然后求出x即可
得到DE的长.
(1)证明:连接OA、AD,如图,
∵∠B=2∠P,∠B=∠ADC,
∴∠ADC=2∠P,
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACP,
∴∠ADC=2∠ACP,
∵CD为直径,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC=60°,∠C=30°,
∴△ADO为等边三角形,
∴∠AOP=60°,
而∠P=∠ACP=30°,
∴∠OAP=90°,
∴OA⊥PA,
∴PA是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△OAP中,∵∠P=30°,
∴OP=2OA,
∴
∴⊙O的直径为;
(3)解:作EH⊥AD于H,如图,
∵点B等分半圆CD,
∴∠BAC=45°,
∴∠DAE=45°,
设DH=x,
在Rt△DHE中,DE=2x,
在Rt△AHE中,
∴
即
解得
∴
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【题目】中国移动某套餐推出了如下两种流量计费方式:
月租费/元 | 流量费(元/) | |
方式一 | 8 | 1 |
方式二 | 28 | 0.5 |
(1)设一个月内用移动电话使用流量为,方式一总费用元,方式二总费用元(总费用不计通话费及其它服务费).写出和关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)如图为在同一平面直角坐标系中画出(1)中的两个函数图象的示意图,记它们的交点为点,求点的坐标,并解释点坐标的实际意义;
(3)根据(2)中函数图象,结合每月使用的流量情况,请直接写出选择哪种计费方式更合算.
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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
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【题目】小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏,每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种,规定“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”,相同的手势是和局.
(1)用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少?
(2)如果两人约定:只要谁率先胜两局,就成了游戏的赢家.用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率.
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【题目】平面直角坐标系xOy(如图),抛物线y=﹣x2+2mx+3m2(m>0)与x轴交于点A、B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线l,过点C作直线l的垂线,垂足为点E,联结DC、BC.
(1)当点C(0,3)时,
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标;
②求证:∠DCE=∠BCE;
(2)当CB平分∠DCO时,求m的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知反比例函数满足:当时,随的增大而减小.若该反比例函数的图象与直线,都经过点,且,则符合要求的实数有________个.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x﹣2交x轴于点A,交y轴于点B,若直线BC交x轴于点C,且∠ABC=45°,则点C的横坐标为_____.
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