Question

如图在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2厘米，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上．抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B和点D（4，

14

3

）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动，同时点Q由B点开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动．若P、Q中有一点到达终点，则另一点也停止运动，设P、Q两点移动的时间为t秒，S=PQ²（厘米²）写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围，当t为何值时，S最小；
（3）当s取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）在抛物线的对称轴上求出点M，使得M到D，A距离之差最大？写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意确定A、B、C、D点的坐标值，因为抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B和点 D（4，

14

3

）．将A、B、D点的坐标值代入抛物线联立解得a、b、c的值．
（2）首先根据题意确定P、Q点的坐标，再根据两点间的距离公式求得PQ²用t表示的代数式，并得到t的取值范围．将PQ²的利用配方法求得PQ²取最小值时的t的取值．
（3）由（2）中得到t的取值，确定出P、Q点的坐标值．分别就①若以BQ为对角线，②若PB为对角线两种情况．
根据平行四边形的P、Q、B三点求得R点的坐标值．并验证是否在抛物线上．
（4）首先根据题意确定对称轴为x=1、及A、D点的坐标值．因为A、D两点位于对称轴x=1的两边，故作D点关于x=1的对称点D'，连接AD′，直线AD′与直线x=1的交点即为所求之．

解答：解：（1）由题意得A（0，-2）、B（2，-2）、C（2，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B和点 D（4，

14

3

），
∴

-2=c -2=4a+2b+c 14 3 =16a+4b+c

，
解得c=-2、a=

5

6

、b=-

5

3

，
∴抛物线的解析式为y=

5

6

x2-

5

3

x-2．

（2）由题意知P点的坐标为（2t，-2）、Q点的坐标为（2，t-2），
则PQ²=（2t-2）²+（-2-t+2）²=5t²-8t+4=5（t-

4

5

）²+

4

5

，
∴S=PQ²=5t²-8t+4（0≤t≤1），
当t=

4

5

时，S最小．

（3）由（1）（2）知，P（

8

5

，-2）、Q（2，-

6

5

）、B（2，-2），
①若以BQ为对角线，
∵平行四边形对角线的交点平分两对角线．
∴R点的坐标为(

12

5

，-

6

5

)，
t=

4

5

时，R(

12

5

，-

6

5

)，
在y=

5

6

x2-

5

3

x-2中，
当x=

12

5

时，y=-

6

5

．
∴R在抛物线上．
②若PB为对角线，当t=

4

5

时，R(

8

5

，-

14

5

)，
在y=

5

6

x2-

5

3

x-2中，当x=

8

5

时，
y=-

38

15

≠-

14

5

，
∴R(

8

5

，-

14

5

)不在抛物线上，
综上可知，抛物线上存在使以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．

（4）由（1）知，该抛物线的对称轴为x=1，
∵D、A点位于对称轴x=1的两侧，
故作D点关于x=1的对称点D′（-2，

14

3

）
则直线AD′的解析式为y=

14 3 +2

-2-0

x-2，
即y=-

10

3

x-2
当x=1时，y=-

16

3

∴M（1，-

16

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、动点问题、两点间的距离公式、点关于直线的对称点等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．