如图1.在△ABC中.∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点.连接AD.以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题:(1)如果AB=AC.∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时.如图2.线段CF.BD之间的位置关系为 .数量关系为 ,②当点D在线段BC的延长线上时.如图3.①中的结论是否仍然成立.为什么?(2)①如果AB=AC.∠BAC≠90°.点D在射线BC上运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为

，数量关系为

；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）①如果AB=AC，∠BAC≠90°，点D在射线BC上运动．在图4中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；
②如果∠BAC=90°，AB≠AC，点D在射线BC上运动．在图5中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；

（3）要使（1）问中CF⊥BC的结论成立，试探究：△ABC应满足的一个条件，（点C、F重合除外）画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；
（4）在（3）问的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，设AC=2

，BC=

，求线段CP长的最大值．

分析：（1）当CF与BD位置关系为互相垂直，数量关系是相等．首先证明△DAB≌△FAC，然后推出∠ACF=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，求出CF⊥BD；
（2）根据题意画出图形来理解．学会数形结合解答问题．
（3）过点A作AG⊥AC，证明△GAD≌△CAF后可证得CF⊥BD；
（4）作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，利用勾股定理求出AQ=CQ=2，证明△AQD∽△DCP，利用线段比求出CP的值．

解答：解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．

②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）

（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，

∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）

（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图7），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2

，

∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴

，∴

2-x

．
∴CP=-

x²+x=-

（x-1）²+

．（7分）
∵0＜x≤

，
∴当x=1时，CP有最大值

．（8分）

点评：本题综合考查的是相似三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等有关知识．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：

；
（3）如图2，当PC是圆O的切线，E为AD中点，BC=8，求AD的长．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说

明理由．