Question

如图，反比例函数的图象经过点 A（2，m），过点A作AB垂直y轴于点B，△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）已知点C（-5，-2）在反比例函数图象上，直线AC交x轴于点M，求△AOM的面积；
（3）过点C作CD⊥x轴于点D，连接BD，试证明四边形ABDC是梯形．

Answer 1

解：（1）∵S_△OAB=×2×m=5，∴m=5，
∴A的坐标为（2，5），代入反比例解析式得：5=，
解得：k=2×5=10；

（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，
将A（2，5），C（-5，-2）代入得：
，
解得：，
∴y=x+3，令y=0，得x=-3，
∴M（-3，0），
∴S_△AOM=×3×5=7.5；

（3）证明：∵AB⊥y轴，DM⊥y轴，
∴DM∥AB，
又∵DM=OD-OM=5-3=2，AB=2，
∴DM=AB，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴AC∥BD，
又∵AB∥x轴，CD⊥x轴，
∴AB与CD不平行，
∴四边形ABDC是梯形．
分析：（1）由三角形AOB的面积等于A横纵坐标乘积的一半来求，根据A的坐标及已知三角形AOB的面积，求出m的值即可；由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，将A与C的坐标代入得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出直线AC的解析式，令y=0求出对应x的值，确定出M的坐标，得到OM的长，三角形AOM的面积由OM与A纵坐标乘积的一半即可求出；
（3）由C的坐标得到OD的长，由OD-OM求出DM的长，AB即为A的横坐标，得到AB与DM相等，再由AB与DM都与y轴垂直得到AB与DM平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABDM为平行四边形，得到AC与BD平行，而AB平行与x轴，DC垂直于x轴，得到AB与DC不平行，可得出四边形ABDC为梯形．
点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，梯形的定义，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题第二问的关键．