Question

19．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E，F在AB，BC上，AE=BF，AF，CE交于G，GD和AC交于H，则下列结论中成立的有（　　）个．
①△ABF≌△CAE；②∠AGC=120°；③DG=AG+GC；④AD²=DH•DG；⑤△ABF≌△DAH．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC，于是得到AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，同理得到△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质∠B=∠EAC=60°，推出△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠ACE由三角形的外角的性质得到∠AEG=∠B+∠BCE，于是得到∠AGC=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；故②正确；在GD上截取GK=AG，连接AK，推出点A，G，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠AGD=∠ACD=60°，∠ACG=∠ADG，得到△AGK是等边三角形，根据的比较熟悉的性质得到AK=AG，∠AKG=60°，证得△AKD≌△AGC（AAS），根据全等三角形的性质得到CG=DK，于是得到DG=GK+DK=AG+CG；故③正确；通过△HAD∽△AGD，由相似三角形的对应边成比例，于是得到AD²=HD•DG；根据全等三角形的性质得到∠ADH=∠ACG，等量代换得到∠BAF=∠ADG，于是得到△ABF≌△ADH．故⑤正确．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{∠B=∠EAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE
∵∠AEG=∠B+∠BCE，
∴∠AGC=∠BAF+∠AEG=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
在GD上截取GK=AG，连接AK，
∵∠AGC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，G，C，D四点共圆，
∴∠AGD=∠ACD=60°，∠ACG=∠ADG，
∴△AGK是等边三角形，
∴AK=AG，∠AKG=60°，
∴∠AKD=∠AGC=120°，
在△AKD和△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AKD=∠AGC}\\{∠ADG=∠ACG}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△AKD≌△AGC（AAS），
∴CG=DK，
∴DG=GK+DK=AG+CG；
故③正确；
∵∠HAD=∠AGD=60°，∠HDA=∠ADG，
∴△HAD∽△AGD，
∴AD：DG=HD：AD，
∴AD²=HD•DG；故④正确；
∵△AKD≌△AGC，
∴∠ADH=∠ACG，
∵∠BAF=∠ACE，
∴∠BAF=∠ADG，
在△ABF与△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADH}\\{AB=AD}\\{∠B=∠DAC=60°}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADH．故⑤正确．
故选D．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．