Question

【题目】已知，抛物线y=x2+(2m－1)x－2m(－<m≤)，直线l的解析式为y=(k－1)x+2m－k+2.

(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为－3，试求抛物线的顶点坐标；

(2)试证明：抛物线与直线l必有两个交点；

(3)若抛物线经过点(x0，－4)，且对于任意实数x，不等式x2+(2m－1)x－2m≥－4都成立； 当k－2≤x≤k时，批物线的最小值为2k+1. 求直线l的解析式.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x－3，顶点(－1，－4)；（2）详见解析；（3）y =－3 x +7或y =(1+2)x +3+2

【解析】

（1）由抛物线与y轴交点的纵坐标为－3，求得m的值，再把抛物线的解析式进行配方即可得到抛物线的顶点坐标；

（2）根据抛物线与直线的方程联立，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；

（3）依题意可知y最小值=－4，求出m＝，此时抛物线的对称轴为直线 x＝－1，再分三种情况结合函数的图象求出k的值即可得出结论.

（1）∵－2m=-3,

∴2m=3，

∴抛物线：y= x2+(2m－1)x－2m =x2+2x－3=( x +1)2－4，

∴顶点坐标为：(－1，－4)

（2）抛物线：y=x2+(2m－1)x－2m

直线：y=(k－1)x+2m－k+2.

x2+(2m－k)x－4m+k－2=0

△=(2m－k)2－4(－4m+k－2)= (2m－k)2+16m－4k+8

＝(2m－k)2+4(2m－k)+8m+4

=(2m－k+2)2+8m+4

∵m>－， (2m－k+2)2≥0

∴△>0，抛物线与直线l必有两个交点.

（3）依题意可知y最小值=－4

即：=－4，m＝或m＝－

∵－<m≤

∴m＝，此时抛物线的对称轴为直线 x＝－1

①当k≤－1时，抛物线在k－2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小.

此时y最小值= k2+2k－3

∴ k2+2k－3=2k+1

解得：k1＝2>－1（舍去），k2＝－2

②当k－2<－1<k，即<－1<k <1时，抛物线在k－2≤x≤k上， y最小值=－4

∴ 2k+1=－4

∴解得：k=－<－1 (舍去)·

③当k－2≥－1，即k≥1时，抛物线在k－2≤x≤k上，图象上升，随增大而增大，

此时y最小值= (k－2)2+2 (k－2)－3

(k－2)2+2 (k－2)－3=2k+1，

解得：k1＝2+2 ，k2＝2－2<1 (舍去)，

综上所述，直线：y =－3 x +7或y =(1+2)x +3+2