Question

12．如图，把矩形ABCD按如图所示方式放置，若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（0，4）．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A，O，C三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，则CF∥x轴，得出∠4=∠2．由点A和点B的坐标得出AE=3，OB=4．DE=2，由矩形的性质得出∠1=∠3，由AAS证明△BCF≌△ADE，得出对应边相等CF=DE=2，BF=AE=3，求出OF=OB-BF=1，即可得出点C的坐标；
（2）设过A，O，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把A，O，C坐标代入得出方程组，解方程组即可．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：
则CF∥x轴，∠BFC=∠AED=90°，
∴∠4=∠2．
∵点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（0，4），．
∴AE=3，OB=4．DE=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠1+∠4=∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCF与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠AED}&{\;}\\{∠1=∠3}&{\;}\\{BC=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ADE（AAS），
∴CF=DE=2，BF=AE=3，
∴OF=OB-BF=4-3=1，
∴点C的坐标为（-2，1）；
（2）设过A，O，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
把A，O，C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=3}&{\;}\\{c=0}&{\;}\\{4a-2b+c=1}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，c=0，
∴过A，O，C三点的抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．