Question

6．已知：抛物线y=-x²+bx+c与x轴交点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，连接PC、PB，设△PBC的面积长为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图在（2）的条件下，在线段OC上取点M，使CM=2DH，在第一象限的抛物线上取点N，连接DM、DN，过点M作MG⊥DN交直线PD于点G，连接NG，∠MDC=∠NDG，∠CMG=∠NGM，求线段NG的长．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图2中，设PH与BC交于点F．P（t，-t²+2t+3），求出直线BC的解析式，求出点F坐标，求出线段PF的长，根据S=S_△PFC+S_△PFB计算即可．
（3）如图3中，作NQ⊥OC于Q，DK⊥OC于K，连接MN．设D（m，-m+3）．首先证明NG=GD，△DMN是等腰直角三角形，由△MNQ≌△DMK，推出QM=DK，QN=DH，
推出N（-m+3，-m+6），把点N坐标代入y=-x²+2x+3得到，m²-5m+6=0，解得m=2或3（舍弃），再求出直线DN、MG的解析式求出点G坐标即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交点A（-1，0）和点B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）如图2中，设PH与BC交于点F．P（t，-t²+2t+3），

∵C（0，3），3（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴F（t，-t+3），
∴BF=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
∴S=S_△PFC+S_△PFB=$\frac{1}{2}$•（-t²+3t）•3=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，（0＜t＜3）．

（3）如图3中，作NQ⊥OC于Q，DK⊥OC于K，连接MN．设D（m，-m+3）．

∵OC∥GH，
∴∠CMG=∠MGD，
∵∠CMG=∠MGN，
∴∠NGM=∠MGD，
∵GM⊥ND，
∴∠NGM+∠DNG=90°，∠NDG+∠MGD=90°，
∴∠GND=∠GDN，
∴NG=DG，
∴MG垂直平分线段DN，
∴MN=MD，
∵∠MDC=∠NDG，
∴∠MDN=∠CDG=45°，
∴∠MDN=∠MND=45°，
∴∠DMN=90°，
∵∠QMN+∠DMK=90°，∠DMK+∠MDK=90°，
∴∠NMQ=∠MDK，∵∠NQM=∠DKM=90°，MN=DM，
∴△MNQ≌△DMK，
∴QM=DK，QN=DH，
∵D（m，-m+3），
∴N（-m+3，-m+6），把点N坐标代入y=-x²+2x+3得到，m²-5m+6=0，解得m=2或3（舍弃），
∴D（2，1），N（1，4），
∴直线DN的解析式为y=-3x+7，
∵MG⊥DN，M（0，2），
∴直线MG的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2，
∴点G坐标（2，$\frac{8}{3}$），
∴NG=DG=$\frac{8}{3}$-1=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用方程的思想思考问题，属于中考常压轴题．