Question

如图7，在平面直角坐标系xOy中,一抛物线的顶点坐标是（0,1），且过点（-2,2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是（-4,0），点Q（x,y）是抛物线上任意一点.
（1）  求此抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）  在x轴上有一点P(t,0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；
（3）  在抛物线上是否存在点Q,使得的面积是的面积的2倍？若存在，求
此时点Q的坐标.

Answer 1

解（1）因为抛物线的顶点坐标是（0,1），且过点（-2,2）
故设其解析式为…………………..….……….. 2分
则有，，得………………....…….3分
所以此抛物线的解析式为： ………… 4分
因为四边形OABC是平形四边形，所以AB=OC=4，AB∥OC
又因为y轴是抛物线的对称轴，所以点A与B是抛物线上关于y轴的对称点
则MA=MB=2,即点A的横坐标是2…………………………………………………..………………5分
则其纵坐标=2，即点A（2,2），故点M（0,2）………….………6分
（2）

作QH⊥x轴，交x轴于点H………………………………………………………………….7分
则，因为PQ∥CM，所以
所以ΔPQH∽ΔCMO………………………………………………………………………………...……… 8分
所以,即…………………………………………………………..…………… 9分
而，所以
所以……………………………………………………………………………………...10分
（3）设ΔABQ的边AB上的高为h，因为
[来源:学科网ZXXK]
………………..…….………..…12分
所以点Q的纵坐标为4，代入,  得
因此，存在符合条件的点Q，其坐标为. …….……..…..14分

解析