Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，

①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y（x﹣2）2+8，抛物线对称轴为直线x＝2；（2）d＝m2m+4（2＜m＜6）；（3）①点P坐标为（5，），②M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（2，8）；M3（，），R3（4，6）；M4（6，3），R4（4，6）．

【解析】

(1)已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式．用配方法或公式求得对称轴．

(2)过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易证∠PDH＝45°，故DH＝PH＝n．由PG∥AB易证△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GHn，把含m的式子代入d＝DH﹣GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6．

(3)①用n表示DG、PH，代入S△PDGDGPH，求得n的值(舍去负值)，再利用nm2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标．

②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或90°．由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标．

解：(1)∵抛物线与x轴交于点B(﹣2，0)，C(6，0)

∴设交点式y＝a(x+2)(x﹣6)

∵抛物线过点A(0，6)

∴﹣12a＝6

∴a

∴抛物线解析式为y(x+2)(x﹣6)x2+2x+6(x﹣2)2+8

∴抛物线对称轴为直线x＝2．

(2)过点P作PH⊥x轴于点H，如图1

∴∠PHD＝90°

∵点P(m，n)是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧

∴2＜m＜6，PH＝nm2+2m+6，n＞0

∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°

∵PD⊥AC于点E

∴∠CED＝90°

∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°

∴DH＝PH＝n

∵PG∥AB

∴∠PGH＝∠ABO

∴△PGH∽△ABO

∴

∴GHn

∴d＝DH﹣GH＝nnn(m2+2m+6)m2m+4(2＜m＜6)

(3)①∵S△PDGDGPH

∴nn

解得：n1，n2(舍去)

∴m2+2m+6

解得：m1＝﹣1(舍去)，m2＝5

∴点P坐标为(5，)

②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．

设直线AP解析式为y＝kx+6

把点P代入得：5k+6

∴k

∴直线AP：yx+6

i)若∠RAS＝90°，且S在线段AC上，如图2

∵直线AC解析式为y＝﹣x+6

∴直线AR解析式为y＝x+6

解得：(即点A)

∴R(2，8)

∵∠ASR＝∠OAC＝45°

∴RS∥y轴

∴xS＝xR＝2

∴S(2，4)

∴直线OM：y＝2x

∵ 解得：

∴M(，)

ii)若∠RAS＝90°，且S在线段CA延长线上，如图3

∴R(2，8)

∴yS＝yR＝8

∴S(﹣2，8)

∴直线OM：y＝﹣4x

∵ 解得：

∴M(，)

iii)若∠ASR＝90°，如图4

∴∠SAR＝∠ACO＝45°

∴AR∥x轴

∴R(4，6)

∵S在AR的垂直平分线上

∴S(2，4)

∴M(，)

iiii)若∠ARS＝90°，如图5

∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴

∴AR∥x轴

∴R(4，6)

∴S(4，2)

∴直线OM：yx

∵ 解得：

∴M(6，3)

综上所述，M1(，)，R1(2，8)；M2(，)，R2(2，8)；M3(，)，R3(4，6)；M4(6，3)，R4(4，6)．