Question

9、如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①△PFA≌△PEB；
②∠PFE=45°；
③EF=AP；
④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：由等腰直角三角形的性质，及角相互间的和差关系易得△PFA≌△PEB，依此得出∠PFE=45°，阴影部分的面积是△ABC的面积的一半．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点；
∴∠APB=90°，AP=CP=BP，∠B=∠C=∠CAP=45°；
∵∠FPE=90°；
∴∠FPA=∠BPE；
∴△PFA≌△PEB；
∴PE=PF；
∴∠PFE=45°．
阴影部分的面积=△APC的面积=△ABC的面积的一半．
故选C．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，同时考查了全等三角形的判断和性质．