Question

9．如图，⊙O的直径AB=4，C是⊙O上一点，连接OC．过点C作CD⊥AB，垂足为D，过点B作BM∥OC，在射线BM上取点E，使BE=BD，连接CE．
（1）当∠COB=60°时，直接写出阴影部分的面积；
（2）求证：CE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）图中阴影部分的面积=扇形的面积-三角形的面积；
（2）欲证明CE是⊙O的切线，只需推知∠OCE=90°即可．

解答 解：（1）∵OC=OB，∠COB=60°，
∴△BOC是等边三角形，∴S_△BOC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$
S_阴=S_扇形OBC-S_△BOC=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$；

（2）证明：∵BM∥OC
∴∠OCB=∠CBE．
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠OBC=∠CBE
又BD=BE，BC=BC
△CBD≌△CBE
∴∠CEB=∠CDB=90°．
∵BM∥OC，
∴∠OCE+∠CEB=180°，
∴∠OCE=180°-∠CEB=180°-90°=90°，
即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．