Question

6．（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD；
（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=60米，AC=AE，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角△ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：BE=CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（3）解：如图3，由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，
则AD=AB=60米，∠ABD=45°，
∴BD=60$\sqrt{2}$米，
连接CD，BD，则由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=60米，BD=60$\sqrt{2}$米，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=60$\sqrt{3}$（米），
则BE=CD=60$\sqrt{3}$米．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．