Question

4．定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）由逆等线的性质可求得CF和AE，由条件可求得AF，在Rt△AEF中，由勾股定理可求得EF的长；
（2）连接AD，可证明△EDA≌△FDC，可求得AE=CF，可证得结论；
（3）可设OF=x，则可表示出DF，作AG⊥OB，CH⊥AG，可证明△ACH≌△DBF，可用x表示出EG，再利用△ACH∽△COE，可求得OF的长．

解答 解：
（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线，
∴CF=AE=2，又AB=AC=5，
∴AF=3，
∵EF⊥AB，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；

（2）连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，

∴AD=CD且∠ADC=90°，
又∵DE=DF且∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°-∠ADF=∠FDC，
在△EDA和△FDC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴△EDA≌△FDC（SAS），
∴AE=CF，
∴EF为等腰△ABC的逆等线；

（3）如图3，设OF=x，则DF=$\frac{k}{x}$，
作AG⊥OB，CH⊥AG，

∵CD为△AOB的逆等线，
∴AC=BD，又∠ACH=∠AOB=∠DBF，
且∠AHC=∠AGO=∠DFB，
在△ACH和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠DBF}\\{∠AHC=∠DFB}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ACH≌△DBF（AAS），
则EG=CH=BF，AH=DF，
又AO=AB，且AG⊥OB，
∴OG=BG，
∴GF=BG-BF=OG-EG=OE，
∴EG=x-2-2=x-4，
∵△ACH∽△COE，
∴$\frac{OE}{CH}$=$\frac{CE}{AH}$，即$\frac{2}{\frac{k}{2}}$=$\frac{x-4}{\frac{k}{x}}$，化简得x²-4x-4=0，解得x=2$\sqrt{2}$+2或x=2-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴OF=2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想等知识．在（1）中注意逆等线的定义的应用，在（2）（3）中构造全等三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．