Question

【题目】如图，在中，，垂足为点，，．

（1）若，求的长；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

（1）在直角△ABD与直角△ADC中，根据勾股定理知AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，据此可以求得AD的长度；

（2）作∠DAC的平分线AE，交BC于点E，作EF⊥AC于点F．易证△ADB≌△ADE≌△AFE，则BD=DE=EF=3，AD=AF，设AD=AF=y，则在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得AD的长度．

解：（1）设AB=2x，AC=3x．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，

∴4x2-32=9x2-82

解得，x=或x=（舍去），

∴AC=3，

∴AD=（3）2-82=35，

则AD=；

（2）如图，作∠DAC的平分线AE，交BC于点E，作EF⊥AC于点F．

∵AE平分∠CAD，，

∴∠BAD=∠DAE=∠EAF，

∵AD⊥BC，EF⊥AC，

∴∠ADB=∠ADE=∠AFE=90°，

∵AD为公共边，

∴△ABD≌△AED（ASA）；

∵AE为公共边，

∴△AED≌△AEF（AAS）；

∴AD=AF，BD=DE=EF=3，

∴CE=8-3=5，

在Rt△CEF中，由勾股定理，得

；

设AD=AF=y，在Rt△ACD中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴；