Question

11．如图1，四边形ABCD、AEFG都是正方形，连接DE、BG．

（1）求证：DE=BG；
（2）在图（2）中，连接GE，若点B、G、E在同一直线上时，AB=$\sqrt{3}$，DE=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠BAD=∠GAE=90°，AB=AD，AG=AE，进而求得∠BAG=∠DAE，然后根据SAS证得△ABG≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）根据正方形的性质和勾股定理求得BD=$\sqrt{6}$，通过△ABG≌△ADE，得出∠AED=∠AGB=135°，BG=DE=1，即可证得∠BED=90°，根据勾股定理即可求得BE，从而得出GE，再根据勾股定理即可求得AE．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，
∴∠BAD=∠GAE=90°，AB=AD，AG=AE，
∴∠BAD-∠GAF=∠GAE-∠GAF，
即∠BAG=∠DAE，
在△ABG和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAG=∠DAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴DE=BG；
（2）连接BD，如图2，
∵正方形ABCD中，AB=AD=$\sqrt{3}$，∠BAD=90°
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵GE是正方形AEFG的对角线，
∴∠AGE=∠AEG=45°，
∵∠AGB=135°，
∵△ABG≌△ADE，
∴∠AED=∠AGB=135°，BG=DE=1，
∴∠BED=90°，
在RT△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{6-1}$=$\sqrt{5}$，
∴GE=BE-BG=$\sqrt{5}$-1，
∵AE²+AG²=GE²，AG=AE，
∴2AE²=GE²，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{5}$-1）=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．