Question

如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于

1

2

AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，
（1）直线MN与线段AB的关系是怎样的？为什么？
（2）若△ADC的周长为10，AB=7，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）首先连接AM，AN，BM，BN，可得AN=BN，AM=BM，可得点N在线段AB的垂直平分线上，点M在线段AB的垂直平分线上，即可证得MN是线段AB的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，AB=7，即可求得△ABC的周长．

解答：解：（1）MN垂直平分AB．…．（1分）
理由：连接AM，AN，BM，BN，
根据题意得：AN=BN，AM=BM，
∴点N在线段AB的垂直平分线上，点M在线段AB的垂直平分线上，
∴MN是线段AB的垂直平分线，
∴MN垂直平分AB．…．（6分）

（2）∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，AB=7，
∴AC+AD+CD=10，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+（AC+CD+AD）=10+7=17．…（9分）

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．