Question

【题目】在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示.点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.

(1)求证：AD=CD.

(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）相切

【解析】

（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到 ，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；

（2）如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G相切．

（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，

∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴ ，

∴AD=CD；

（2）如图，

∵AD=CM，AD=CD，

∴CD=CM，

∵DM⊥BC，

∴BC垂直平分DM，

∴BC为直径，

∴∠BAC=90°，

∵ ，

∴OD⊥AC，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线，

∴直线DE与图形G相切．