Question

1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
（1）求证：DE=BF；
（2）如果∠BDE=40°，求∠DBF；
（3）求证：S_{四边形BCDG}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得AD=AB，则AB=AD=BD，原式可判断△ABD为等边三角形，所以∠A=∠ADB=60°，则可利用“SAS”证明△ADE≌△DBF，所以DE=BF；
（2）由于∠BDE=40°，则∠ADE=60°-40°=20°，然后根据△ADE≌△DBF即可得到∠DBF=∠ADE=20°；
（3）延长GB到M使BM=DG，连结CM，如图，先证明∠CDG=∠CBM，则利用“SAS”可判断△CDG≌△CBM，得到S_△CDG=S_△CBM，∠DCG=∠BCM，CG=CM，再证明△CGM为等边三角形，然后利用S_{四边形BCDG}=S_△CGM和等边三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB，
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A=∠ADB=60°，
在△ADE和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DB}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DBF，
∴DE=BF；
（2）解：∵∠BDE=40°，
∴∠ADE=60°-40°=20°，
∵△ADE≌△DBF，
∴∠DBF=∠ADE=20°；
（3）证明：延长GB到M使BM=DG，连结CM，如图，
∵∠CBD=60°，
∴∠DBF+∠CBM=120°，
∵∠CDG+∠ADE=120°，
而∠DBF=∠ADE，
∴∠CDG=∠CBM，
在△CDG和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM，
∴S_△CDG=S_△CBM，∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°
∴△CGM为等边三角形，
∴S四边形BCDG=S_△CGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．