Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径长是．

【解析】

（1）过O作OH⊥AB于H，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到∠CBO=∠HBO，根据全等三角形的性质得到OH=OC，于是得到AB与⊙O相切；

（2）求得BC的长，然后证明BC是切线，利用切线长定理求得BH的长，证明△OAH∽△BAC，利用相似三角形的性质求解．

（1）证明：如图，过O作OH⊥AB于H，∠ACB＝90°

∴∠BHO＝∠BCO＝90°，

∵BO平分∠ABC，

∴∠CBO＝∠HBO，

∵BO＝BO，

∴△CBO≌△HBO（AAS），

∴OH＝OC，

∴AB与⊙O相切；

（2）解：∵在直角△ABC中，AB＝5，AC＝4，

∴BC＝

∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴BC是半圆的切线，

又∵AB与半圆相切，

∴BH＝BC＝3，AH＝AB﹣BH＝5﹣3＝2．

∵AB是切线，

∴OH⊥AB，

∴∠OHA＝∠BCA，

又∵∠A＝∠A，

∴△OAH∽△BAC，

∴即

解得OH＝．即⊙O的半径长是．