Question

（10分）若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．
(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE，△AMN是等边三角形；
(2) 如图②，当∠EAB=30°，AB＝12，AD=时，求AM的长．

 

Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°.
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC.
∴△ABE≌△ACD.
∴CD=BE.    ……………………………………………………………………1分
∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，
即BM=BE，CN=CD.
∴BM= CN.
又AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．  ………………………………………………2分
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°．
∴△AMN是等边三角形．    …………………………………………………3分
（2）解：作EF⊥AB于点F，
在Rt△AEF中，
∵∠EAB=30°，AE=AD=，
∴EF=.    …………………………………………………………………4分
∵M是BE中点，
作MH⊥AB于点H，
∴MH∥EF，MH=EF=.    ……………………………………………5分
取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=AE.
∴∠MPH=30°，MP=．
∴在Rt△MPH中，PH=.
∴AH=AP+PH=.   .………………………………………………………6分
在Rt△AMH中，AM=. .…………………………7分

解析