Question

7．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且$\widehat{DA}$=$\widehat{DC}$，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若OE=2$\sqrt{7}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到AB⊥BE，根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，得到AD=AC，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）连接OE，作OG⊥AD于G，根据直角三角形的性质得到OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，根据勾股定理求出BE，根据垂径定理计算即可．

解答 （1）证明：∵$\widehat{DA}$=$\widehat{DC}$，
∴DA=DC
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BM，
∴CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∴AD=AC=CD，即△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，作OG⊥AD于G，
由（1）得，∠EAB=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BE，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
由勾股定理得，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE）²+BE²=（2$\sqrt{7}$）²，
解得，BE=4，
则AB=4$\sqrt{3}$，AE=8，
 在Rt△AOG中，∠OAG=30°，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AG=3，
∴AD=6，
∴DE=AE-AD=2．

点评 本题考查的是圆的切线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．