【题目】如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y的正半轴交于点C,连结BC,二次函数的对称轴与x轴的交点为E.
(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____,点A的坐标为_____;
(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切,试求出抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,如图②Q(m,0)是x的正半轴上一点,过点Q作y轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,将△CMN沿CN翻折,M的对应点为M′.在图②中探究:是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(,0),(﹣1,0);(2)y=﹣x2+x+3.(3)存在,点Q坐标为(,0)或( ,0).
【解析】分析:
(1)由抛物线的对称轴为直线求出抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的对称轴方程,即可求得点E的坐标;在y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)令y=0可得关于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0,解方程即可求得点A的坐标;
(2)如图1,设⊙E与直线BC相切于点D,连接DE,则DE⊥BC,结合(1)可得DE=OE=,EB=,OC=-4a,在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2,这样由tan∠OBC=即可列出关于a的方程,解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式;
(3)由折叠的性质和MN∥y轴可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC,由此可得CM=MN,由点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,3)可得线段BC=5,直线BC的解析式为y=﹣x+3,由此即可得到M、N的坐标分别为(m,﹣m+3)、(m,﹣m2+m+3),作MF⊥OC于F,这样由sin∠BCO=即可解得CM=m,然后分点N在直线BC的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度,结合MN=CM即可列出关于m的方程,解方程即可求得对应的m的值,从而得到对应的点Q的坐标.
详解:
(1)∵对称轴x=,
∴点E坐标(,0),
令y=0,则有ax2﹣3ax﹣4a=0,
∴x=﹣1或4,
∴点A坐标(﹣1,0).
故答案分别为(,0),(﹣1,0).
(2)如图①中,设⊙E与直线BC相切于点D,连接DE,则DE⊥BC,
∵DE=OE=,EB=,OC=﹣4a,
∴DB=,
∵tan∠OBC=,
∴,解得a=,
∴抛物线解析式为y=.
(3)如图②中,由题意∠M′CN=∠NCB,
∵MN∥OM′,
∴∠M′CN=∠CNM,
∴MN=CM,
∵点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,3),
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3,BC=5,
∴M(m,﹣m+3),N(m,﹣m2+m+3),作MF⊥OC于F,
∵sin∠BCO=,
∴,
∴CM=m,
①当N在直线BC上方时,﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=m,
解得:m=或0(舍弃),
∴Q1(,0).
②当N在直线BC下方时,(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m,
解得m=或0(舍弃),
∴Q2(,0),
综上所述:点Q坐标为(,0)或(,0).
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,要判定四边形DBFE是菱形,下列所添加条件不正确的是( )
A. AB=AC B. AB=BC C. BE平分∠ABC D. EF=CF
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=3,BC=5,连接BD,∠BAD的平分线分别交BD、BC于点E、F,且AE∥CD
(1) 求AD的长;
(2) 若∠C=30°,求CD的长.
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【题目】如图,将连续的奇数1,3,5,7…按图1中的方式排成一个数表,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数(如图2)分别用a,b,c,d,x表示.
(1)若x=17,则a+b+c+d= .
(2)移动十字框,用x表示a+b+c+d= .
(3)设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.
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【题目】每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据以上统计图,解答下列问题:
(1)求出本次接受调查的市民共有多少人?
(2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是_________;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数.
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【题目】观察下面三行数:
-3,9,-27,81,…;①
1,-3,9,-27,…;②
-1,11,-25,83,…;③
(1)第①行数按什么规律排列?第10个数是________;
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)设x、y、z分别为第①②③行的第2018个数,求的值.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,增加下列条件,不能得出BE∥DF的是( )
A. AE=CF B. BE=DF C. ∠EBF=∠FDE D. ∠BED=∠BFD
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【题目】甲、乙两车分别从、两地同时出发,甲车匀速前往地,到达地后立即以另一速度按原路匀速返回到地; 乙车匀速前往地,设甲、乙两车距地的路程为(千米),甲车行驶的时间为时), 与之间的函数图象如图所示
(1)甲车从地到地的速度是__________千米/时,乙车的速度是__________千米/时;
(2)求甲车从地到达地的行驶时间;
(3)求甲车返回时与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)求乙车到达地时甲车距地的路程.
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