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如图,已知AB=2,AB、CD是⊙O的两条直径,M为弧AB的中点,C在弧MB上运动,点P在AB的延长上,且PC=AC,作CE⊥AP于E,连接DP交⊙O于F.
(1)求证:当AC=时,PC与⊙O相切;
(2)在PC与⊙O相切的条件下,求sin∠APD的值?

【答案】分析:(1)连接BC,AB为直径,解直角三角形ABC得∠A=30°,又PC=AC,得∠CPE=∠A=30°,∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°,利用内角和定理证明∠OCP=90°;
(2)作DH⊥AP垂足为H,可证DH=CE,利用解直角三角形求CE,在Rt△CDP中,由CD=2,CP=,利用勾股定理求DP,由sin∠APD=求解.
解答:(1)证明:连接BC,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,cosA==
∴∠A=30°,
又∵PC=AC,
∴∠CPE=∠A=30°,
∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°,
∴∠OCP=180°-∠CPE-∠COP=90°,
∴PC与⊙O相切;

(2)解:在Rt△CDP中,
∵CD=2,CP=
∴DP=(1分)
作DH⊥AP垂足为H(1分)
∵∠HOD=∠COE,OC=OD,∠CEO=∠DHO=90°,
∴Rt△DHO≌Rt△CEO(1分)
可得DH=CE=AC•sin30°=(1分)
在Rt△DHP中:sin∠APD===
点评:本题考查了切线的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形的知识.关键是作辅助线,将问题转化到特殊三角形中求解.
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