Question

20．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴相交于点A、B两点，过点B的直线y=-x+b交抛物线于另一点C（-5，6），点D是线段BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），作DE∥AC，交该抛物线于点E，
（1）求m，n，b的值；
（2）求tan∠ACB；
（3）探究在点D运动过程中，是否存在∠DEA=45°？若存在，则求此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式中的常数项b，再令一次函数解析式中y=0求出x值，由此可得出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式中的系数m、n；
（2）过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥BC于点G，由二次函数解析式可求出交点A、B的坐标，由点B、C、A点的坐标，可找出线段CF、BF、AF、BA的长，通过解直角三角形即可找出BG、AG、BC的长，再根据正切的计算公式即可得出结论；
（3）假设存在，连接AE，过点E作EM⊥x轴于点M，通过角的计算得出∠BAE=∠BDE=∠BCA，设出点E的坐标，根据（2）的结论tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=-x+b经过点C（-5，6），
∴6=-（-5）+b，解得：b=1，
∴直线BC的解析式为y=-x+1．
∵令y=-x+1中y=0，则0=-x+1，解得：x=1，
∴点B的坐标为（1，0），
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n过点B（1，0）、C（-5，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{2}+m+n}\\{6=\frac{25}{2}-5m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴b=1，m=1，n=-$\frac{3}{2}$．
（2）过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥BC于点G，如图1所示．

∵点C的坐标为（-5，6），
∴点F（-5，0）．
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$与x轴交于A、B两点，
令y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$中y=0，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0，即x²+2x-3=0，
解得：x=-3，或x=1，
∴点A（-3，0）、点B（1，0），
∴CF=BF=6，AF=2，AB=4．
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，CF=BF=6，
∴∠CBF=45°，BC=6$\sqrt{2}$．
在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠ABG=45°，AB=4，
∴BG=AG=2$\sqrt{2}$，
∴CG=BC-BG=4$\sqrt{2}$，
∴tan∠ACB=$\frac{AG}{CG}$=$\frac{1}{2}$．
（3）假设存在，连接AE，过点E作EM⊥x轴于点M，如图2所示．

∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠BCA．
∵∠DEA=45°，∠DBA=45°，
∴∠BAE=∠BDE=∠BCA，
∴tan∠BAE=$\frac{1}{2}$．
设点E的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$）（-3＜t＜1），
则AM=t-（-3）=3+t，EM=-（$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$，
∴tan∠BAE=$\frac{EM}{AM}$=$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{3}{2}}{3+t}$=$\frac{1}{2}$，即t²+3t=0，
解得：t=0，或t=-3（舍去）．
经验证t=0是分式方程的根．
当t=0时，点E的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），
此时AE=$\sqrt{（-3-0）^{2}+[0-（-\frac{3}{2}）]^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；
故在点D运动过程中，存在∠DEA=45°，此时线段AE的长为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）求出线段AG、BG的长；（3）找出关于t的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．