Question

13． 如图，在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1上取一点A₁，以O、A₁为顶点作等一个等边三角形OA₁B₁，再在直线上取一点A₂，以A₂、B₁为顶点作第二个等边三角形A₂B₁B₂，…，一直这样做下去，则B₁点的坐标为（$\sqrt{3}$，0），第10个等边三角形的边长为2⁹$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作A₁D⊥x轴于D，A₂E⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得OD=B₁D，B₁E=B₂E，∠OA₁D=30°，∠B_1A2E=30°，设OD=t，B₁E=a，则A₁D=$\sqrt{3}$t，A₂E=$\sqrt{3}$a，则A₁点坐标为（t，$\sqrt{3}$t），把A₁（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1可解得t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到B₁点的坐标为（$\sqrt{3}$，0），OB₁=$\sqrt{3}$，则A₂点坐标为（$\sqrt{3}$+a，$\sqrt{3}$a），然后把A₂代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1可解得a=$\sqrt{3}$，B₁B₂=2$\sqrt{3}$，同理得到B₂B₃=4$\sqrt{3}$，…，按照此规律得到B₉B₁₀=2⁹$\sqrt{3}$．

解答 解：作A₁D⊥x轴于D，A₂E⊥x轴于E，如图，
∵△OA₁B₁、△B₁A₂B₂均为等边三角形，
∴OD=B₁D，B₁E=B₂E，∠OA₁D=30°，∠B_1A2E=30°，
设OD=t，B₁E=a，则A₁D=$\sqrt{3}$t，A₂E=$\sqrt{3}$a，
∴A₁点坐标为（t，$\sqrt{3}$t），
把A₁（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+1，解得t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OB₁=$\sqrt{3}$，
∴B₁点的坐标为（$\sqrt{3}$，0），
∴A₂点坐标为（$\sqrt{3}$+a，$\sqrt{3}$a），
把A₂（$\sqrt{3}$+a，$\sqrt{3}$a）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$+a）+1，解得a=$\sqrt{3}$，
∴B₁B₂=2$\sqrt{3}$，
同理得到B₂B₃=2²$\sqrt{3}$，…，按照此规律得到B₉B₁₀=2⁹$\sqrt{3}$．
故答案为（$\sqrt{3}$，0），2⁹$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等边三角形的性质．