Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y= ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵EF⊥DE，

∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，

又∠B=∠C=90°，

∴△BEF∽△CDE，

∴

即

解得y= ；

（2）

解：由（1）得y= ，

将m=8代入，得y=-

=

所以当x=4时，y取得最大值为2；

（3）

解：∵∠DEF=90°，∴只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，

∴△BEF≌△CDE，

∴BE=CD=m，

此时m=8-x，解方程

= ，

得x=6，或x=2，

当x=2时，m=6，

当x=6时，m=2．

【解析】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．