(1)如图1是某个多面体的表面展开图．①请你写出这个多面体的名称.并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点,②如果沿BC.GH将展开图剪成三块.恰好拼成一个矩形.那么△BMC应满足什么条件?(2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块.恰好拼成一个三角形.如图2.那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）

分析（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱柱，点A、M、D三个字母表示多面体的同一点，据此解答即可．
②根据图示，要使沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，则△BMC应满足两个条件：△BMC中的三个内角有一个是直角；△BMC中的一条直角边和DH的长度相等，据此解答即可．
（2）首先判断出矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形，AC=LK，且AC=DL+FK，$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，同理，可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，据此判断出△ABC∽△DEF，即可判断出S_△DEF=4S_△ABC；然后求出该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少即可．

解答解：（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得
这个多面体是直三棱柱，
点A、M、D三个字母表示多面体的同一点．

②△BMC应满足的条件是：
a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；
b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；
c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；

（2）如图2，连接AB、BC、CA，，
∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，
∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，
且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形，
∴AC=LK，且AC=DL+FK，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，
同理，可得
$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}=\frac{1}{4}$，
即S_△DEF=4S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{侧面积}}{{S}_{表面积}}=\frac{{S}_{△DEF}{-2S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}=\frac{{2S}_{△ABC}}{{4S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}$，
即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是$\frac{1}{2}$．

点评（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直三棱柱的表面展开图的特征和应用，要熟练掌握．

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