Question

19．如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m≤$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）把点A代入y=x+m即可得出m的值，再把点A的坐标为（2，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$即可得出k的值；
（2）求得点B、C坐标，S_△OAB=S_△OAC+S_△OCB；
（3）从图象上直接得出答案即可．

解答 解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，
∴2+m=1即m=-1；
∵A（2，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴$\frac{k}{2}$=1，
∴k=2；
（2）∵一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（-1，-2），
令y=x-1中y=0，得x=1，
∴C（1，0）
∴S_△OAB=S_△OAC+S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC•|y_A|+$\frac{1}{2}$OC•|y_B|
=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}×$1×2=$\frac{3}{2}$，
∴△OAB的面积=1.5；
（3）由图象可知不等式组0＜x+m≤$\frac{k}{x}$的解集为1＜x≤2．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式及三角形的面积公式是解答此题的关键．