Question

（2012•镇江二模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=

5

，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC．利用等腰△AOC的两个底角相等证得∠CAO=∠OCA．然后角平分线的性质推知∠DAC=∠CAO，则内错角∠DAC=∠OCA，所以AD∥OC；最后由切线的性质证得结论；
（2）连接BC．在直角△ADC中利用勾股定理求得AC=3．然后通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AB=

9 5

5

；由角平分线线的性质知∠DAC=∠CAO，则sin∠CAB=sln∠DAC=

DC

AC

=

2

3

．

解答：（1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA．
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AD∥OC．
又∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥DC；

（2）解：连接BC．
由（1）知，∠ADC=90°，
∴根据勾股定理知，AC=

AD2+CD2

=3．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

5

3

=

3

AB

．
∴AB=

9

5

5

，
∴sin∠CAB=sln∠DAC=

DC

AC

=

2

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．