Question

12．菱形的两对角线分别为8cm和10cm，则顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形的面积是20cm²．

Answer 1

分析 先根据中点可知：HG是△BDC的中位线，得平行相似，则S_△CHG=$\frac{1}{4}$S_△DBC，同理得S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BAD，S_△DEH=$\frac{1}{4}$S_△ADC，S_△BFG=$\frac{1}{4}$S_△BAC，则S_△CHG+S_△AEF+S_△DEH+S_△BFG=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，代入计算即可．

解答 解：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴HG是△BDC的中位线，
∴HG∥BD，
∴△CHG∽△CDB，
∴S_△CHG=$\frac{1}{4}$S_△DBC，
同理S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△BAD，
∴S_△CHG+S_△AEF=$\frac{1}{4}$S_△DBC+$\frac{1}{4}$S_△BAD=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
同理S_△DEH+S_△BFG=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∴S_△CHG+S_△AEF+S_△DEH+S_△BFG，
=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}+$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∴S_{中点四边形EFGH}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×10=20，
故答案为：20cm²．

点评 本题考查了中点四边形和菱形的性质，运用三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；可知平行相似且面积比是相似比的平方，从而得出中点四边形的面积是菱形面积的一半．