【题目】在中,,分别以,为边向外作正方形和正方形.
(1)当时,正方形的周长=_______(用含的代数式表示);
(2)连接.试说明:三角形的面积等于正方形面积的一半.
(3)已知,且点是线段上的动点,点是线段上的动点,当点和点在移动过程中,的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)4m;(2)证明见解析;(3)△APQ的周长的最小值为4.
【解析】
(1)直接由正方形的性质得出答案即可;
(2)连接AH,证明△BHA≌△BCE,利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论;
(3)作点A关于DE的对称点A′,点A关于BC的对称点F,利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F,进一步求得问题即可.
(1)∵四边形BCFH是正方形,
∴BC=BH=FH=CF,
∴当BC=m时,正方形BCFH的周长为4m,
故答案为:4m;
(2)如图1,连接AH,
在△BHA和△BCE中,
∴△BHA≌△BCE(SAS),
∵AF∥BH,
∴BH边上的高=正方形BCFH的边
∴△BHA的面积等于正方形BCFH的面积.
∴△AEC的面积等于正方形BCFH的面积;
(3)△APQ的周长存在最小值.
如图2,作点A关于DE的对称点A
∴AP=A′P
∵点A关于BC的对称点F,
∴AQ=QF,
∴△APQ的周长的最小值为A′F,
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M,
∵,
∴∠BAC=45°,AB=2
∴∠A′AM=45°, AA′=4,
∴△AA′M为等腰直角三角形,,
∴MA=MA′=4,
∴MF=8,
∴A′F==4,
∴△APQ的周长的最小值为4.
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【题目】定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点P绕点T(0,t)(t>0)旋转180°得到点Q,那么称线段QP为“拓展带”,点Q为点P的“拓展点”.
(1)当t=3时,点(0,0)的“拓展点”坐标为 ,点(﹣1,1)的“拓展点”坐标为 ;
(2)如果 t>1,当点M(2,1)的“拓展点”N在函数y=﹣的图象上时,求t的值;
(3)当t=1时,点Q为点P(2,0)的“拓展点”,如果抛物线 y=(x﹣m)2﹣1与“拓展带”PQ有交点,求m的取值范围.
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【题目】在中,,、、所对的边分别为、、
(1) ,,则________________________;
(2) ,,则_______________________;
(3) ,,则_______________________;
(4) ,,则_______________________;
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【题目】一个长方形的周长是24厘米,它的一边长是(单位:厘米),面积是(单位:平方厘米).
(1)若,则这个长方形的面积是__________平方厘米;
(2)写出与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)画出关于的函数图象.
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,如杨辉三角就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数降幂排列)的系数规律例如,在三角形中第一行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中的系数.结合对杨辉三角的理解完成以下问题
(1)(a+b)2展开式a2+2ab+b2中每一项的次数都是 次;
(a+b)3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中每一项的次数都是 次;
那么(a+b)n展开式中每一项的次数都是 次.
(2)写出(a+1)4的展开式 .
(3)拓展应用:计算(x+1)5+(x﹣1)6+(x+1)7的结果中,x5项的系数为 .
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【题目】在一个不透明的口袋中装有3个带号码的球,球号分别为2,3,4,这些球除号码不同外其它均相同。甲、乙、两同学玩摸球游戏,游戏规则如下:
先由甲同学从中随机摸出一球,记下球号,并放回搅匀,再由乙同学从中随机摸出一球,记下球号。将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数,乙同学的作为个位上的数。若该两位数能被4整除,则甲胜,否则乙胜.
问:这个游戏公平吗?请说明理由。
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【题目】如图,3×3的方格分为上中下三层,第一层有一枚黑色方块甲,可在方格A、B、C中移动,第二层有两枚固定不动的黑色方块,第三层有一枚黑色方块乙,可在方格D、E、F中移动,甲、乙移入方格后,四枚黑色方块构成各种拼图.
(1)若乙固定在E处,移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是________.
(2)若甲、乙均可在本层移动.
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率________.
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是________.
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