【题目】抛物线与轴交于两点,与轴交于点.已知点,点.
(1)当时,求点的坐标;
(2)直线与抛物线交于两点,抛物线的对称轴为直线
①求,所满足的数量关系式;
②当OP=OA时,求线段的长度.
【答案】(1)(,0);(2)①;②或.
【解析】
(1)利用待定系数法,将,点,代入函数解析式,求得,从而求得函数解析式及对称轴,然后根据数轴上的对称性求得点B的坐标;
(2)①由抛物线的对称轴求得,求得,然后将点,点代入函数解析式求得p与a的数量关系;
②由OP=OA时,分情况讨论当P(0,1)或(0,-1),求得p的值,从而确定二次函数和一次函数解析式,然后求其交点坐标,利用勾股定理求PN的长度.
解:(1)将点,点代入函数解析式,得
当时,可得,解得:
∴此时抛物线解析式为:,抛物线对称轴为
设B点坐标为(x,0) ,则此时,解得:
∴B点坐标为(,0)
(2)①将点,点代入函数解析式,得
有题意可知:,则
∴,解得
②当OP=OA时,P(0,1)或(0,-1)
当P(0,1)时,-p=1,即p=-1,则,解得
∴此时抛物线解析式为:
又∵直线与抛物线交于两点
∴一次函数解析式为:
由此,解得或
∴此时P(0,1)),N(5,-4)
∴PN=
当P(0,-1)时,-p=-1,即p=1,则,解得
∴此时抛物线解析式为:
又∵直线与抛物线交于两点
∴一次函数解析式为:
由此,解得或
∴此时P(0,-1)),N(-1,0)
∴PN=
∴综上所述,PN的长度为或.
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【题目】现有个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字,,,,.先将标有数字,,的小球放在第一个不透明的盒子里,再将其余小球放在第二个不透明的盒子里.现从第一个盒子里随机取出一个小球,再从第二个盒子里随机取出一个小球.两次分别用x、y来表示.
(1)请利用列表或画树状图的方法中的一种方法,求(x,y)所有可能出现的结果总数;
(2)求取出的两个小球上的数字之和等于的概率.
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【题目】“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)若居民区有8000人,请估计爱吃D粽的人数;
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个,煮熟后,小王吃了两个.用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C粽的概率.
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【题目】(2011贵州安顺,17,4分)已知:如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为 .
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【题目】数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上,一端固定在桌面上,图2是示意图.
活动一
如图3,将铅笔绕端点顺时针旋转,与交于点,当旋转至水平位置时,铅笔的中点与点重合.
数学思考
(1)设,点到的距离.
①用含的代数式表示:的长是_________,的长是________;
②与的函数关系式是_____________,自变量的取值范围是____________.
活动二
(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.
6 | 5 | 4 | 3.5 | 3 | 2.5 | 2 | 1 | 0.5 | 0 | |
0 | 0.55 | 1.2 | 1.58 | 1.0 | 2.47 | 3 | 4.29 | 5.08 |
②描点:根据表中数值,描出①中剩余的两个点.
③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.
数学思考
(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的顶点A在x轴上,顶点C在y轴上,OA=8,OC=4.点P为对角线AC 上一动点,过点P作PQ⊥PB,PQ交x轴于点Q.
(1)tan∠ACB=________;
(2)在点P从点C运动到点A的过程中,的值是否发生变化?如果变化,请求出其变化范围;如果不变,请求出其值;
(3)若将△QAB沿直线BQ折叠后,点A与点P重合,则PC的长为________
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【题目】为迎接“五一”国际劳动节,某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件,已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元,且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍.
(1)求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲品牌以每件50元出售,乙品牌以每件100元出售.为满足市场需求,购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍,请你确定获利最大的进货方案,并求出最大利润.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为的网格中,,B,C均在格点上.
(Ⅰ)△ABC的面积为_______;
(Ⅱ)若有一个边长为6的正方形,且满足点A为该正方形的一个顶点,且点B,点C分别在该正方形的两条边上,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出这个正方形,并简要说明其它顶点的位置是如何找到的(不要求证明)___________.
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