Question

【题目】已知，的半径为1；直线经过圆心，交于、两点，直径，点是直线上异于的一个动点，直线交于点，点是直线上另一点，且.

(Ⅰ)如图1，点在的内部，求证：是的切线；

(Ⅱ)如图2，点在的外部，且，求的长.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)OP=.

【解析】

(Ⅰ)连接ON，根据等边对等角即可证得∠1=∠2，∠PNM=∠4，然后根据直角三角形两锐角互余即可证得∠PNO=90°，即可得结论；(Ⅱ)连接ON，由∠3=30°可得∠1=60°，即可证明△AON是等边三角形，可得∠5=30°，根据等腰三角形的性质可得∠3=∠4=30°，进而可证明∠PNO=90°，利用∠3的余弦值求出OP的长即可.

(Ⅰ)如图，连接ON，

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，即.

又∵是半径，点在上，

∴是的切线.

(Ⅱ)解：如图，∵，

∴

∵ON=OA，

∴是等边三角形.

∴.

∵，

∴.

∴∠OPN=60°，

∴.

∴.