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17.已知四边形ABCD是矩形,且AB=1,BC=2,求:
(1)|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|;
(2)|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|;
(3)$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{AC}$;
(4)$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BC}$.

分析 (1)把-$\overrightarrow{CB}$写成$\overrightarrow{BC}$,再根据平行四边形法则求解,然后利用勾股定理求出|$\overrightarrow{AC}$|即可;
(2)先表示出-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$,然后求解即可;
(3)根据(1)的计算方法求解即可;
(4)根据平行四边形法则表示出$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$,然后整理即可得解.

解答 解:(1)∵-$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{BC}$,
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|,
∵四边形ABCD是矩形,且AB=1,BC=2,
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{5}$;

(2)∵-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$,
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|,
∵AB=1,
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|=2;

(3)由(1)可知,$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$=0;

(4)由平行四边形法则得,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$,
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$,
所以,$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$.

点评 本题考查了平面向量,向量的问题,熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键,本题要注意互为相反向量的应用.

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