Question

2．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（3）如果AB=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，求AD．

Answer 1

分析 （1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；
（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；
（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{10}$=$\frac{3}{5}$，求出BC=6，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD-OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

解答 （1）证明：∵OD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∴∠CBD=∠OBD，
∴BD平分∠ABC；

（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，
∴∠ACB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°．
∵PF=PB，
∴∠PBF=∠CFB，
由（1）知∠OBD=∠CBF，
∴∠PBF+∠OBD=90°，
∴∠OBP=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（3）解：连结AD．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8．
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，$\frac{AE}{8}$=$\frac{OE}{6}$=$\frac{5}{10}$，
∴AE=4，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．