Question

如下图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是上的动点，连结OP，并延长交直线BC于点K．

(1)当点P从点E沿运动到点F时，点K运动了多少个单位长度？

(2)过点P作所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G．

①当K与B重合时，BG∶BM的值是多少？

②在点P运动的过程中，是否存在BG∶BM＝3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明其中的理由．

一般地，是否存在BG∶BM＝n(n为正整数)的情况？试提出你的猜想(不要求证明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如下图，连结OE、OF并延长分别交直线BC于N、Q． 　　当点P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q． 　　∵O、E分别为AD、AB的中点，∠A＝90°， 　　∴∠AOE＝45°． 　　过点O作OT⊥BC于T，则∠OTN＝90°， 　　又∵ABCD是正方形，∴OT⊥AD，∠NOT＝45°． 　　∴△OTN是等腰直角三角形，OT＝NT＝2． 　　同理，TQ＝2． 　　∴NQ＝4，即点K运动了4个单位长度． 　　(2)如下图，当K与B重合时， 　　∵MG与所在的圆相切于点P，∴OB⊥MG， 　　∴∠2＋∠3＝90°． 　　∵∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2． 　　∴Rt△BAO～Rt△GMB． 　　∴ 　　存在BG：BM＝3的情况，分析如下： 　　如下图，假定存在这样的点P，使得BG：BM＝3 　　过K作KH⊥OA于H， 　　那么，四边形ABKH为矩形，即有KH＝AB＝2 　　∵MG与所在的圆相切于点P，∴OK⊥MG于P． 　　∴∠4＋∠5＝90° 　　又∵∠G＋∠5＝90°，∴∠4＝∠G． 　　又∵∠OHK＝∠GBM＝90°，∴△OHK～△MBG． 　　∴． 　　∴OH＝， 　　∴存在这样的点K，使得BG∶BM＝3． 　　∴在点P运动的过程中，存在BG∶BM＝3的情况． 　　同样的，可以证明：在线段BC、CD及CB的延长线上，存在这样的点、、使得：． 　　连结交AB于点则：＝：＝3， 　　此时＝BC∴BK的值为 　　由此可以猜想，存在BG∶BM＝n(n为正整数)的情况．