Question

【题目】定义：

我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

理解：

（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．

求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2．

【解析】

（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；

（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；

（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FEFG，再判断出EQ=FE，继而求出FGFE=8，即可得出结论．

（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，

∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，

当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴或，

∴CD=10或CD=2.5

同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，

（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=40°，

∴∠A+∠ADB=140°

∵∠ADC=140°，

∴∠BDC+∠ADB=140°，

∴∠A=∠BDC，

∴△ABD∽△BDC，

∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，

∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，

∴△EFH与△HFG相似，

∵∠EFH=∠HFG，

∴△FEH∽△FHG，

∴，

∴FH2=FEFG，

过点E作EQ⊥FG于Q，

∴EQ=FEsin60°=FE，

∵FG×EQ=2，

∴FG×FE=2，

∴FGFE=8，

∴FH2=FEFG=8，

∴FH=2．