Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，请你先补全图形，再求出当AB＝，BD＝2时，OE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)2.

【解析】

（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；

（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．

（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠DCA，

∵AC平分∠BAD．

∴∠OAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD＝AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：补全图形如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，

∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝2，

∴OB＝BD＝1，

在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，

∴OA＝＝2，

∴OE＝OA＝2．