【题目】已知,抛物线y=m与y轴交于点C,与x轴交于点A和点B(其中点A在y轴左侧,点B在y轴右侧).
(1)若抛物线y=m的对称轴为直线x=1,求抛物线的解析式;
(2)如图1,∠ACB=90°,点P是抛物线y=m上的一点,若S△BCP=,求点P的坐标;
(3)如图2,过点A作AD∥BC交抛物线于点D,若点D的纵坐标为﹣m,求直线AD的解析式.
【答案】(1);(2)P坐标为(,)或(,);(3)
【解析】
(1)由对称轴x=1,可求解;
(2)先求出点A,点B,点C坐标,由勾股定理可求m的值,即可求抛物线解析式,在y轴上选取点Q(0,3),则,过Q作PQ∥BC,则直线与抛物线的交点就是点P,可求PQ解析式,联立方程组,可求点P坐标;
(3)由题意可得A(m,0),B(1,0),点C(0,m),可求出BC解析式,AD解析式,联立方程组,可求点D坐标,代入解析式可m的值,即可求解.
解:(1)∵抛物线y=m的对称轴为直线x=1,
∴对称轴直线为x==1,
∴m=1,
∴抛物线解析式为y=.
(2)∵y=m=,
∴当y=0时,x1=1,x2=m,
∴点A(m,0),点B(1,0),
∴AB=1﹣m,
∵C点坐标为(0,m),点A(m,0),点B(1,0),
∴AB2=(m﹣1)2,AC2+BC2=1+()2+m2+()2=1+m2,
∵∠ACB=90°,
∴AB2=AC2+BC2,
∴1+m2=(m﹣1)2,
∴m=﹣4,
∴抛物线解析式为y=x2+x-2.
A(﹣4,0),B(1,0)C(0,﹣2),
∴.
如图1,在y轴上选取点Q(0,3),则,过Q作PQ∥BC,则直线与抛物线的交点就是点P,
∵B(1,0)C(0,﹣2),
∴直线BC解析式为:y=2x﹣2,
则直线PQ解析式为:y=2x+3,
∴
解得x1=,x2=.
∴P坐标为(,4-)或(,4+)。
(3)由题意知-m>0,
∴m<0,
∴A(m,0),B(1,0),且点C(0,m),
∴直线BC解析式为:y=﹣mx+m,
∴AD解析式为: y=﹣m(x-m).
∴
解得:x1=1﹣m,x2=m(舍,这是A点的横坐标),
∴点D(1﹣m,﹣m)
∴-m(1-m-m)=m,
解得m=-,
∴AD的解析式为y=.
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【题目】已知,内接于,过点作的切线.
(1)如图,求证:;
(2)如图,点为的中点,射线交于点,交优弧于点,交于点,求证:;
(3)如图,在(2)的条件下,若,,,求的半径.
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【题目】“垃圾分类就是新时尚”.树立正确的垃圾分类观念,促进青少年养成良好的文明习惯,对于增强公共意识,提升文明素质具有重要意义.为了调査学生对垃圾分类知识的了解情况,从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试,获得了他们的成绩(百分制,单位:分),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如下:
甲校学生样本成绩频数分布表(表1)
成绩m(分) | 频数 | 频率 |
0.10 | ||
4 | 0.20 | |
7 | 0.35 | |
2 | ||
合计 | 20 | 1.0 |
b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如下表所示:(表2)
学校 | 中位数 | 众数 | 方差 | |
甲 | 76.7 | 77 | 89 | 150.2 |
乙 | 78.1 | 80 | 135.3 |
其中,乙校20名学生样本成绩的数据如下:
54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)表1中___________;表2中的众数_________;
(2)乙校学生样本成绩扇形统计图(图1)中,这一组成绩所在扇形的圆心角度数是_________度;
(3)在此次测试中,某学生的成绩是79分,在他所属学校排在前10名,由表中数据可知该学生是________校的学生(填“甲”或“乙”),理由是________________________;
(4)若乙校1000名学生都参加此次测试,成绩80分及以上为优秀,请估计乙校成绩优秀的学生约为________人.
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【题目】在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等,则称这个点为“美好点”,如图,过点P分别作x轴,y轴的垂线,与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等,则P为“美好点”.
(1)在点M(2,2),N(4,4),Q(﹣6,3)中,是“美好点”的有 ;
(2)若“美好点”P(a,﹣3)在直线y=x+b(b为常数)上,求a和b的值;
(3)若“美好点”P恰好在抛物线y=x2第一象限的图象上,在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了响应国家提出的“每天锻炼1小时”的号召,某校积极开展了形式多样的“阳光体育”运动,毛毛对该班同学参加锻炼的情况进行了统计(每人只能选其中一项),并绘制了如图两个统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)毛毛这次一共调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图,并求出扇形统计图中“足球”所在扇形的圆心角度数;
(3)若该校有1800名学生,请估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人.
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【题目】某年级共有 150 名女生,为了解该年级女生实心球成绩(单位:米)和一分钟仰卧起坐成绩(单位:个)的情况,从中随机抽取 30 名女生进行测试,获得了她们的相关成绩,并对数据进行了整理,下面给出了部分信息.
a.实心球成绩的频数分布如表所示:
b.实心球成绩在 7.0≤x<7.4 这一组的是:7.0,7.0,7.0,7.1,7.1,7.1,7.2,7.2,7.3,7.3
c.一分钟仰卧起坐成绩如图所示:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)①表中 m 的值为 ;②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 ;
(2)若实心球成绩达到 7.2 米及以上时,成绩记为优秀.
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数;
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的 8 名女生的两项成绩的数据抄录如表所示:
其中有 3 名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整,但老师说这 8 名女生中恰好有4 人两项测试成绩都达到了优秀,于是体育委员推测女生 E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀,你是否同意体育委员的说法? (填“是”或“否”).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与反比例函数的图象交于点和点.
(1)求的值及点的坐标;
(2)若点是轴上一点,且,直接写出点的坐标.
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【题目】某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为w万元.(毛利润=销售额﹣生产费用)
(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;
(2)求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少?
(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?
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【题目】古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.
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