Question

【题目】如图，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC边上一动点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

（1）若BC＝10，判断四边形AEDF的形状并证明；

（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF是正方形，求BD的长；

（3）若∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，则BD＝　　．

Answer 1

【答案】（1）四边形AEDF是矩形，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）首先判定平行四边形，然后证明一个内角为90°，从而判定矩形；

（2）首先根据面积法求得DE的长，然后利用勾股定理求得BD的长即可；

（3）根据面积求得BD：CD＝3：4，然后求得BD的长．

解：（1）AEDF是矩形，理由如下

∵AB2+AC2＝62+82＝BC2＝102，

由勾股定理得∠BAC＝90°

∵DE∥AF、DF∥AE，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC＝90°，

∴四边形AEDF是矩形；

（2）由（1）得，当DE＝DF时，四边形AEDF是正方形．

设DE＝DF＝x，建立面积方程S△ABC＝ACBD＝DE（AB+AC）；

即：×6×8＝x×（6+8），

解得：x＝，

∴DE＝AE＝，BE＝AB﹣AE＝，

在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝；

（3）依题意得，当AD是∠BAC角平分线时，四边形AEDF是菱形．

点B作AC的垂线段交于点G，

又∵∠BAG＝60°，

∴AG＝3，CG＝5，BG＝，

由勾股定理得：BC＝，

∵AD平分∠BAC，

∴S▲ABD：S▲ACD＝AB：AC＝BD：CD，

即BD：CD＝3：4．

∴，

故答案为：．