Question

设n为正整数，A=2004ⁿ，A被7除余数为2，A被11除余数为3，则n的最小值是

 

．

Answer 1

考点：带余除法

专题：探究型

分析：先把2002化为7×11×26的形式，令A=2004ⁿ=（7a+2）ⁿ=（11b+2）ⁿ，再分别把=（7a+2）ⁿ和A=（11a+2）ⁿ进行展开，把n=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10代入进行检验即可．

解答：解：∵2002=7×11×26，则A=2004ⁿ=（7a+2）ⁿ=（11b+2）ⁿ
其中a=11×26，b=7×26均为整数．
对A=（7a+2）ⁿ进行展开，按a的降幂排列，显然有a的项必有7的出现，也就是说展开式除常数项外全部能被7整除．余数只看常数项即可．
同理，对A=（11a+2）ⁿ进行展开．也可以得到，余数只看常数项即可．
展开后的常数项均为2ⁿ，即2的n次方．
显然，2ⁿ=7x+2且2ⁿ=11y+3
这里x和y均为整数．
2⁰=1，不合题意，
2¹=2，不合题意，
2²=4，不合题意，
2³=8，不合题意，
2⁴=16，不合题意，
2⁵=32，不合题意，
2⁶=64，不合题意，
2⁷=128，不合题意，
2⁸=256，不合题意，
2⁹=512，不合题意，
2¹⁰=1024，合题意．
故n的最小值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查的是带余数的除法，根据题意把2004ⁿ化为（7a+2）ⁿ=（11b+2）ⁿ的形式是解答此题的关键．