Question

如图1，抛物线y=ax²+bx -1经过A（-1,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.

（2）如图1，当点P的横坐标为   时，求证：△OBD∽△ABC.

（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积.

（4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标.

 

Answer 1

解：（1）抛物线表达式：

直线BC的表达式：

（2）如图1，当点P的横坐标为 时，把x=

代入，得

∴DE=

又∵OE=，

∴DE=OE

∵∠OED =90°

∴∠EOD=45°

又∵ＯＡ＝ＯＣ＝１，∠ＡＯＣ =90°

∴∠OＡＣ=45°

∴∠OＡＣ=∠EOD

又∵∠ＯＢＤ=∠ＡＢＣ

△OBD∽△ABC

（3）设点P的坐标为P（x，）

∴ＯＥ＝x，PＥ＝＝

又∵OE=2PE

∴

解得 （不合题意舍去）

∴Ｐ、Ｄ两点坐标分别为，　

∴ＰＤ＝

ＯＥ＝

∴

（4）